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lunes, 17 de marzo de 2014

Movimiento Circular Uniforme

Ángulo y velocidad angular[editar]

El ángulo abarcado en un movimiento circular es igual al cociente entre la longitud del arco de circunferencia recorrida y el radio.
La longitud del arco y el radio de la circunferencia son magnitudes de longitud, por lo que el desplazamiento angular es una magnitud adimensional, llamada radián. Un radián es un arco de circunferencia de longitud igual al radio de la circunferencia, y la circunferencia completa tiene 2\pi\, radianes.
La velocidad angular es la variación del desplazamiento angular por unidad de tiempo:
\omega = \frac{d\varphi}{dt}
Partiendo de estos conceptos se estudian las condiciones del movimiento circular uniforme, en cuanto a su trayectoria y espacio recorrido, velocidad y aceleración, según el modelo físico cinemático.

Posición[editar]

Moviment circular.jpg
Se considera un sistema de referencia en el plano xy, con vectores unitarios en la dirección de estos ejes  (\text{O}; \mathbf i, \mathbf j) . La posición de la partícula en función del ángulo de giro  \varphi  y del radio r es en un sistema de referencia cartesiano xy:
\begin{cases} x = r \cos \varphi \\ y = r \sin \varphi \end{cases}
De modo que el vector de posición de la partícula en función del tiempo es:
\mathbf {r} = r \cos (\omega t) \mathbf i + r \sin (\omega t) \mathbf j
siendo:
\mathbf{r} \; : es el vector de posición de la partícula.
r \; : es el radio de la trayectoria.
Al ser un movimiento uniforme, a iguales incrementos de tiempo le corresponden iguales desplazamientos angulares, lo que se define como velocidad angular (ω):
\omega = \frac{d\varphi}{dt} = \frac{\varphi}{t} \qquad\Rightarrow\qquad \varphi = \omega {t}
El ángulo (φ), debe medirse en radianes:
\varphi = \frac{s}{r}
donde s es la longitud del arco de circunferencia
Según esta definición:
1 vuelta = 360° = 2 π radianes
½ vuelta = 180° = π radianes
¼ de vuelta = 90° = π /2 radianes

Velocidad tangencial[editar]

La velocidad se obtiene a partir del vector de posición mediante derivación tangencial:
\mathbf{v} = \frac{d\mathbf r}{dt} = -r\omega\sin (\omega t) \mathbf i + r\omega\cos (\omega t) \mathbf j
La relación entre la velocidad angular y la velocidad tangencial es:
{v} = |\mathbf v | = \sqrt {(-r\omega\sin (\omega t))^2 + (r\omega\cos (\omega t))^2} = \omega r
El vector velocidad es tangente a la trayectoria, lo que puede comprobarse fácilmente efectuando el producto escalar \mathbf r \cdot \mathbf v y comprobando que es nulo.

Aceleración[editar]

La aceleración se obtiene a partir del vector velocidad con la derivación:
\mathbf{a} = \frac{d\mathbf v}{dt} = -r\omega^2\cos (\omega t) \mathbf i - r\omega^2\sin (\omega t) \mathbf j
de modo que
\mathbf{a} = -\omega^2 \mathbf r
Así pues, el vector aceleración tiene dirección opuesta al vector de posición, normal a la trayectoria y apuntando siempre hacia el centro de la trayectoria circular. por lo que acostumbramos a referirnos a ella como aceleración normal o centrípeta.
El módulo de la aceleración es el cuadrado de la velocidad angular por el radio de giro, aunque lo podemos expresar también en función de la celeridad v\, de la partícula, ya que, en virtud de la relación v=\omega r\,, resulta
a = \omega^2 r = \frac{v^2}{r}
Esta aceleración es la única que experimenta la partícula cuando se mueve con rapidez constante en una trayectoria circular, por lo que la partícula deberá ser atraída hacia el centro mediante una fuerza centrípeta que la aparte de una trayectoria rectilínea, como correspondería por la ley de inercia.
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