Movimiento de proyectiles

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Vamos ahora a utilizar nuestros nuevos conocimientos para ver cómo podemos describir el movimiento de un objeto que se lanza con una determinada velocidad inicial en cualquier dirección. Empecemos por el caso más simple de una bomba que se deja caer desde un avión. En la figura podemos contemplar la trayectoria de una bomba soltada desde un avión que vuela a 1000 m de altura con una velocidad de 600 km/h.

Figura 5. Caída de una bomba desde una avión que vuela a 1000 m de altura con una velocidad de 600 km/h

¿Qué cosas nos pueden interesar aquí?. Bueno, si usted fuera el piloto del avión estaría interesado en cosas como el lugar donde impactará el proyectil, cuánto tiempo tardará en hacerlo y cosas por estilo. Nosotros somos aún más curiosos y nos interesa también la velocidad que lleva el proyectil en cualquier momento, la forma de la trayectoria y todo lo relacionado con la posición del proyectil en cualquier instante. Desde luego que somos bastante detallistas en esto de la física y el lector podría pensar que se va a complicar mucho el ejercicio de esa manera. Pero si hacemos el supuesto de que los movimientos horizontal y vertical del proyectil se pueden estudiar separadamente, todo empieza a hacerse más sencillo.
Parte horizontal del movimiento
Supongamos ahora que una vez soltado, el proyectil tiende a seguir llevando la misma velocidad que llevaba el avión y en la misma dirección. Pero el lector puede pensar: ¿cómo es esto?. El proyectil debería perder velocidad por dos razones:

1. Por el rozamiento de aire
2. Porque ya no hay ningún motor que lo impulse.

Efectivamente, el proyectil pierde algo de velocidad por efectos de rozamiento con el aire, pero la segunda razón es errónea. Hay un principio de la naturaleza que a veces se denomina principio de inercia y que establece que los cuerpos tienden a continuar en la misma dirección y con la misma velocidad que llevaban mientras no haya ninguna fuerza que se lo impida. En otras palabras, no hace falta que nada mueva al proyectil. Este tiende a continuar moviéndose por su propia inercia. Vamos a admitir de momento este principio y más tarde discutiremos los que haya que discutir al respecto. Si despreciamos entonces el rozamiento del aire tenemos, que en la dirección horizontal la rapidez del proyectil es constante y podemos calcular la distancia horizontal que cubre en un determinado tiempo como (ec.[5])

que no es más que otra manera de expresar nuestra ecuación [1].

Movimiento vertical
El movimiento vertical se convierte en una simple caída libre de un objeto como ya hemos estudiado. La distancia vertical cubierta por el proyectil viene dada por la expresión [3] que en este caso se convierte en (ec. [6]):

y su velocidad vertical en cada instante de tiempo t viene dada por la expresión [2] v = g t
Nuestro ejemplo en concreto
Vamos a empezar por calcular la distancia a la que impacta el proyectil. Estará de acuerdo el lector que esto ocurre cuando el proyectil haya caído los 1000 metros desde los que fue lanzado, es decir, que podemos sustituir en la ec. [6]

con lo que de paso hemos calculado el tiempo de caída del proyectil. Si ahora lo ponemos en la expresión [5]

donde 167 m/s es la velocidad del avión (600 km/h), obtenemos la distancia buscada.
Nos preguntamos ahora con qué velocidad impacta el proyectil en el suelo. Aquí se nos presenta el problema de que tenemos una rapidez horizontal que sigue siendo de 167 m/s y una rapidez vertical que se calcula como:

Cómo se suman estas dos contribuciones para obtener la velocidad. La respuesta es mediante la ley de adición vectorial. No se asuste el lector, pues el asunto es más sencillo que lo que el nombre indica.

Figura 6. Representación del instante de impacto de la bomba contra el suelo.

Si nos fijamos en la figura 6 podemos ver como el truco para calcular la verdadera velocidad a partir de la rapidez horizontal y vertical no es más que la aplicación del teorema de Pitágoras a nuestro caso particular. Es decir, tenemos que calcular el valor de la hipotenusa del triángulo que se muestra en la figura 6 como

Otra cosa que nos podría interesar es el ángulo con el que se produce la caída de la bomba. El truco consiste en ver la relación existente entre los lados del triángulo, es decir, 140/167. Este número nos da lo que se denomina en matemáticas la tangente del ángulo. Por tanto, para calcular el ángulo no tenemos más que hacer la tangente inversa de esta cantidad y obtenemos unos 40º.
Por último me gustaría señalar el tipo de curva que sigue un proyectil en su movimiento. Todos hemos oído en la retransmisión de un partido de fútbol al locutor diciendo aquello de: "el balón describe una bonita parábola". La parábola es una curva matemática que se obtiene fácilmente si uno coge en un eje horizontal y pinta marcas igualmente espaciadas y en un eje vertical donde pinta rayas espaciadas cantidades que se multiplican sucesivamente por 1,4,9,16... veces la unida elegida. Esto es, según los cuadrados de los enteros. De forma general una parábola es una curva que relaciona la distancia vertical y con distancia horizontal x de la forma

siendo a, b, c números cualesquiera.
Para ver que efectivamente nuestro proyectil sigue una curva de este tipo solamente tenemos que eliminar el tiempo t de las ecuaciones [5] y [6] y obtener una relación entre la distancia recorrida verticalmente y la cubierta horizontalmente. Quede esto como ejercicio para los lectores más interesados en la matemática del asunto.